CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

Corresponde a la sesion de GA 2.12. LOS GEMELOS

Al observar y comparar figuras geometricas, se advierte que, en algunos casos, dos de ellas tienen la misma forma pero no el mismo tamaño y, en otros, puede ser que sean de igual forma y tamaño. Al comparar dos figuras, si observamos que tienen la misma forma y la misma medida, decimos que las figuras son congruentes.

El simbolo que se emplea para denotar la congruencia es

Para comparar dos triangulos y determinar si existe congruencia entre ellos, existen tres criterios, que se describen y ejemplifican a continuacion.

Primer criterio: lado, lado, lado (LLL)

Dos triangulos son congruentes si los tres lados de uno de ellos son congruentes a los lados del otro triangulo.

Segundo criterio: lado, angulo, lado (LAL)

Dos triangulos son congruentes si, en el primer triangulo, dos de sus lados y el angulo comprendido entre ellos del segundo triangulo

Tercer criterio: angulo, lado, angulo (ALA)

Dos triangulos son congruentes si dos angulos y el lado comprendido entre ellos, de uno de los triangulos, son congruentes con dos de los angulos y el lado comprendido entre ellos del otro triangulo.

Con la finalidad de ejemplificar los criterios de congruencia de los triangulos, considerense los puntos que se dan a continuacion.

1. Los siguientes triangulos son congruentes, lo cual puede comprobarse al medir los lados de cada triangulo.

2. Los siguientes triangulos no son congruentes, lo cual se comprueba al medir los lados de cada triangulo.

3. En los siguientes triangulos, los segmentos y los angulos congruentes estan marcados de la misma manera. En funcion de tal circunstancia, es posible determinar en cual de los tres criterios de congruencia son LLL, LAL y ALA.

Como puede observarse, los tres lados del primer triangulo son congruentes con los tres lados del segundo triangulo; por lo tanto, estos triangulos se identifican con el primer criterio de congruencia: lado, lado, lado (LLL).

Puede verse que estos triangulos son congruentes debido a que presentan sus angulos y sus lados congruentes, respectivamente; por lo tanto, se identifican con el segundo criterio de congruencia: lado, angulo, lado (LAL).

Estos triangulos tambien son congruentes, ya que dos angulos y el lado comprendido entre los angulos del primer triangulo son congruentes con respecto al segundo triangulo; por lo tanto, estos triangulos se identifican con el tercer criterio de congruencia: angulo, lado, angulo (ALA).

Con base en el conocimiento de los criterios de congruencia se puede demostrar con facilidad cuando dos triangulos son congruentes.

Triángulos, ángulos y relaciones métricas

• punto

es la unida gráfica mínima;el punto no tiene longitud, ni anchura.

• linea

es una sucesión infinita de puntos,las lineas poseen una sola dimensión, longitud,y carece de anchura y espesor.

• linea curva

cuando los puntos no están alineados en una misma dirección 

• plano

una identidad que tiene dos dimenciones: ancho y largo (es un concepto geometrico no definido)

puntos colineales 

ubicados en una misma linea recta o sobre el mismo plano 

recta paralela 

rectas que están en el mismo plano pero nuca se interceptan y tienen la misma distancia entre ellas 

rectas intersecantes

son dos rectas que tienen un punto en común

recta perpendicular 

forman un angulo recto o de 90 *

rectas concorrantes

son dos o mas rectas con un punto en comun 

GEOMETRÍA BASICA

 CONCEPTOS GEOMETRICOS BASICOS

• punto.-unidad grafica minima  .A .B .C
• linea.-sucesion de puntos,una de sus caracteristicas es que tienen longitud <-------------->
• linea curva.-sucesion d epuntos NO ALINEADOS
• plano.-es donde se representann los puntos y las lineas se caracterizan por que son anchos y largos
• puntos colineales.-puntos ubicados en una misma linea <---.A---.B---.C--->
• puntos cooplanares.-conjuntos de puntos en el mismo plano
• angulo.- avertura entre dos rayos (lados) que inicia en el mismo punto,al punto comun se le llama VERTICE

Despues de esos conceptos vimos la ¨"CLASIFICACION DE LOS ANGULOS"

• POR SUS MEDIDAS

angulo colineal o llano 180° 

angulo recto 90 ° (el cuadrito siempre mide 90 °)

angulo concavo debe de medir mas de 180 ° pero menos de 360°

angulo agudo debe medir menos de 90 ° pero mas de 0 °

clasifiacion de angulos POR LA SUMA DE SUS MEDIDAS

• Angulo complementario  la suma de AOC+COB=90°

Angulo suplementario la suma de AOB+COB=180°      

• Clasificacion de los angulos POR LA POSICION DE SUS LADOS

angulos adyacantes.- si tiene el mismo vertice y un lado comun se llaman angulos adyacantes

 < B <Y=OPUESTOS POR EL VERTICE

                                                                           <A <S= OPUESTOS POR EL VERTICE

EJERCICIOS

  en base a esta figura cuanto mide x ?

R=  x+55+20=90°    ---> x= 90°-55°-20

                                         x=15°

2.- de acuerdo con la figura cuanto vale x ?

                                       R=los angulos son complementarios entonces,

35°+x+40°=180°       x+75°=180°

                                  x=180°-75°

                                   x=105°

3.- Encuentra el valor de x

20°+(2x+10)+60° =180        2x+90°=180  

                                           2x=180-90°

                                               2x=90°

                                                   x=90/2

                                                    x=45°

UTILIZA ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y RELACIONES METRICAS

Conceptos geométricos básicos:

• Punto: Unidad gráfica mínima. No tiene dimensión.
• Línea: Sucesión de puntos que son rectas y las hay verticales, diagonales, y horizontales. Carecen de ancho y espesor, sólo tienen longitud.

• Línea curva: Sucesión de puntos no alineada.

• Plano: Espacio donde se representan puntos y líneas. Geométricamente no tiene representación. Son largos y anchos.
• Puntos colineales: Puntos ubicados en una misma línea.
• Puntos coplanares: Puntos ubicados en un mismo plano.

Definición de ángulo: Abertura entre dos ayos que inician en un mismo punto. Rayos=lados, Punto=vértice.

Clasificación de los ángulos:

• Por sus medidas
• Por la suma de sus medidas
• Por la posición de sus lados

Por sus medidas:

1. ángulo colineal=180º
2. ángulo recto= 90º
3. ángulo agudo= menos de 90º, más de 0º
4. ángulo obtuso= más de 90º, menos de 180º
5. ángulo cóncavo= más de 180º, menos de 360º
6. ángulo perígono= 360º

Por la suma de sus medidas:

1. ángulos complementarios: Son dos ángulos que sumados me dan 90º
2. ángulos suplementarios: Son dos ángulos que sumados me dan 180º

Por la posición de sus lados:

1. ángulo adyacente: Están los dos a un lado del otro, compartiendo un mismo lado y un mismo punto común.
2. ángulos opuestos al vértice: Cuando dos rectas se intersecan o se cortan, los pares de ángulos que se forman son opuestos por el vértice.