Un polígono es una figura plana que, como su raíz griega lo indica, tiene muchos lados, se utiliza más para los que tienen más allá de cuatro lados, pues estos se llaman cuadriláteros, pero no dejan de ser polígonos, y estos se clasifican de acuerdo a su forma, numero de lados, medida de los ángulos, en Regulares si sus lados y ángulos son iguales o les dan una forma pareja o regular, con al menos un eje de simetría, para calcular su área hay una formula especifica de la figura que funciona para cualquier semejante, por ejemplo, la del pentágono, sirve para cualquier pentágono regular.

PROPIEDADES DE LOS POLIGONO

POLÍGONOS:  POLÍGONOS REGULARES y POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.

Polígono es la superficie plana encerrada dentro de un contorno formado por segmentos rectos unidos en sus extremos. Cada uno de los segmentos se denomina lado. El punto de unión de cada par de segmentos se denomina ángulo. El numero de lados, ( y por tanto de ángulos) ha de ser  mayor o igual a tres. Polígono cruzado: Dos o mas lados se cortan. Los polígonos regulares estrellados son el caso más interesante. Polígono convexo: Si el segmento que une dos puntos cualesquiera del polígono es interior al polígono. Todos los ángulos interiores son menores de 180º. Si uno o más de los ángulos interiores es mayor de 180, el polígono es no convexo, o cóncavo. Polígono regular. Si tiene lados y ángulos iguales. El representado a la derecha es polígono equilátero,(lados iguales) pero no es regular(ángulos no iguales) Cruzado Reg Estrellado 9/2 Convexo No convexo (cóncavo) Regular convexo  Regular estrellado 5/2 No regular

Algunas propiedades de los polígonos:

La suma de los ángulos interioresde un polígono de n lados es 180(n-2).		En un polígono convexo la suma de losángulos exteriores es 360.		Número de diagonales (segmentos que unen vértices no consecutivos) de un polígono es Dn = n (n-3)/2

Polígonos regulares:  convexos y estrellados.

POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS.
Como se ha indicado un polígono es regular si tiene sus lados iguales y sus ángulos iguales.

En la figura se muestran los elementos más importantes de un polígono regular. Radio (r): segmento que une el centro con un vértice. Es el radio de la circunferencia circunscrita. Apotema (a): Segmento que une el centro con el punto medio de un lado. En un polígono regular de n lados: Angulo central =360/n Angulo interior = 180 - 360/n Área = Perímetro x Apotema /2;   A = n· L · a /2 , ya que es el área de n triángulos  de base L y altura a (L/2)2 + a2 = r2  por ser triangulo rectángulo L/2, r y a

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES.
No todo polígono regular puede construirse con regla y compás. Más bien al contrario, algunos polígonos regulares pueden construirse de forma exacta. 

Se presentan algunos de los polígonos regulares construibles. Desde cada imagen se accede a su construcción.

N=3Triangulo Equilátero	N= 4 Cuadrado         .	N=5Pentágono Regular	N=6Hexágono Regular	N=8Octógono Regular.	N=10Decágono Regular	N=15Pentadecágono Regular	N=17Heptadecágono Regular

	Si un polígono regular de N lados es construible, también lo es el regular de 2N lados. Basta con trazar la circunferencia circunscrita y trazar la mediatriz de cada lado.
	Si un polígono de N lados es construible, también lo son los polígonos cuyo número de lados sea divisor de N. Uniendo los vértices correspondientes.

Desde Euclides se conocían construcciones geométricas con sólo regla y compás para polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados y todos los que se deducen de ellos por bisección:  6, 8, 10, 12,...  lados.

Gauss demostró, que son construibles los polígonos regulares con número de lados esto es, de lados  N=3 (n=0),N=5 (n=1), N=17 (n=2), N=257 (n=3), N=65537 (n=4).

 También demostró la imposibilidad de la construcción de polígonos regulares de lados, 7,9,11,13,... en la que muchos  habían fracasado.

En algunos textos y páginas de Internet es fácil encontrar la construcción de alguno de estos, que  es aproximada, aunque a veces no se indique con claridad.

	Construcciones aproximadas de los polígonos regulares de 7 y 9 lados. En la imagen ampliada se observa la aproximación.
A la derecha se muestra ampliado 10 veces, las inmediaciones del vértice A.
Existen procedimientos para construir de forma aproximada polígonos de numero de lados cualesquiera, que suelen tratarse en temas de dibujo técnico.

POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS.
También son, de acuerdo a la definición polígonos regulares, los estrellados. Estos, se obtienen a partir del regular convexo, uniendo vértices  no consecutivos, recorriendo todos los vértices de forma continua.

No debemos confundir los polígonos estrellados con las estrellas.

La figura de la izquierda representa el polígono estrellado 8/3, octógono estrellado. La imagen de la derecha son dos cuadrados, girado uno respecto al otro 45º.

OCTÓGONO  ESTRELLADO 8/3		ESTRELLA FORMADA POR  DOS CUADRADOS.
Un polígono estrellado N/M se construye a partir del polígono regular N uniendo puntos de M en M.En el ejemplo uniendo los vértices del octógono regular de tres en tres. Pinchando en el dibujo se accede a un applet que genera algunos polígonos regulares estrellados y algunas propiedades de estos.		También puede formarse esta composición sobre un octógono regular. Pero la figura anterior no es un polígono, si no dos. Son dos líneas poligonales independientes.

Los polígonos regulares convexos, son un caso particular de polígonos regulares estrellados.

Ejercicios:
1.- ¿Cual es la suma de los ángulos interiores de un decágono?
2.- ¿Que Polígono regular tiene ángulo central  45º?
3.- ¿Cuantas diagonales tiene un dodecágono?
4.- ¿Cuanto vale el ángulo interior de un eneágono regular?

Muchos de los problemas de la trigonometría consisten en la resolución de un triángulo. Resolver un triángulo es, definirlo de manera unívoca, es decir, dar la medida de sus 3 lados y de sus tres ángulos. Así pues, es fundamental cuántos y cuáles de los elementos de un triángulo son necesarios para que éste quede determinado.

Hemos hablado en el tema anterior de medida de ángulos y todos manejamos de manera intuitiva el concepto de medida. También hablamos de ángulos iguales o congruentes como aquellos que somos capaces de, moviendo uno de ellos sin deformarlo, superponerlo hasta hacerlo coincidir con el otro. Esta idea la ampliamos a la media de segmentos sin mucha dificultad.

Intuitivamente podemos entender muy bien que, para mover un objeto cualquiera (ángulo, segmento, triángulo, circunferencia, ...) sin deformarlo, podríamos, entre otras cosas, hacer movimientos de los siguientes tipos:

• Trasladarlo de lugar. (Esto es lo que en matemáticas llamamos una Traslación)
• Girarlo alrededor de un punto de cualquier forma. (Esto es lo que en matemáticas llamamos un Giro)
• Invertirlo, obtener su simétrico, respecto de una recta cualquiera. (Esto es lo que en matemáticas llamamos una Simetría Axial)

El haber considerado estos tres tipos de "movimientos" no ha sido una cuestión de azar y tienen una justificación matemática rigurosa, pero desde el punto de vista que nos ocupa, nos basta con entender que éstos son movimientos que no deforman.

Congruencia de Triángulos

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Definición:

(RA.2)[LaTeX]

En la definición anterior la congruencia de triángulos se representa mediante tres rayas horizontales y, en el caso de los ángulos y de los lados, las tres rayas horizontales indican que , moviendo uno de ellos sin deformarlo se puede superponer sobre el otro para hacerlos coincidir ("miden lo mismo").
Una manera de visualizar lo que son dos triángulos congruentes es pensar que lo serán siempre que sea posible recortar uno de ellos, levantarlo y moverlo hasta hacerlo coincidir exactamente con el otro. Es decir, si lo podemos mover sin deformar hasta que se superpongan.
En realidad, podríamos hablar de triángulos iguales y, según el contexto, así será. Sin embargo, dos triángulos pueden ser congruentes y estar colocados en distinto sitio del plano. Si en un problema determinado la ubicación exacta del triángulo es fundamental, queda claro que no podemos hablar de manera precisa de igualdad.

Intuitivamente podemos entender muy bien que, para mover un triángulo sin deformarlo podríamos, entre otras cosas, hacer movimientos de los tres tipos mencionados en la Introducción del tema:

• Trasladarlo de lugar: por ejemplo, arrastrándolo desde uno de sus vértices.
• Girarlo alrededor un punto de cualquier forma: en partircular, si lo hacemos girar sobre uno cualquiera de sus vértices.
• Invertirlo, obtener su simétrico respecto de una recta cualquiera: en particular si le damos la vuelta sobre la recta que determina uno de sus lados.

Como trabajamos en el Applet adjunto, con estos movimientos, si dos triángulos tienen los lados y los ángulos respectivamente iguales, conseguiremos superponerlos haciéndolos coincidir.

En los siguientes apartados vemos que, para que 2 triángulos sean congruentes nos basta con observar algunas coincidencias entre sus elementos y no es necesario comprobar que tanto los 3 lados como los tres ángulos miden lo mismo dos a dos.

Criterio1 de congruencia de Triángulos:
Dos triángulos son congruentes si tienen un ángulo igual y los lados que lo comprenden respectivamente iguales

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Criterio1:
Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, miden lo mismo.
(RA.3)

Vamos a contruir un triángulo del que conocemos dos lados y el ángulo comprendido y veremos que el proceso nos da un único resultado salvo movimientos que no deforman.

En el Applet adjunto trabajamos esta construcción como sigue:

• Nuestro primer paso de construcción es fijar un punto donde empezar el dibujo, un vértice del triángulo. Este será único salvo desplazamientos.
• Vamos a dibujar ahora el primero de los lados. Como tenemos su medida y el punto origen C, las posibilidades para dibujarlo quedan definidas por la circunferencia de centro C y radio su tamaño. (Es único salvo un giro que no deforma)
• Conocemos el ángulo comprendido entre los dos lados y tenemos un lado fijado, así que dibujemos el ángulo sobre el lado. Aquí tenemos dos posibilidades para llevar el ángulo, orientación contraria a las agujas del reloj o, al revés.
• Del otro lado tenemos su longitud y, entre ambos lados debe quedar comprendido el ángulo.
• Uniendo ahora los extremos no comunes de los lados dados, queda dibujado el triángulo.

Criterio 2 de congruencia de Triángulos:
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente iguales y el lado comprendido también igual

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Criterio2:
Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y el lado comprendido entre ellos, miden lo mismo.
(RA.4)

Como en el caso anterior, construyamos mediante el Applet y veremos que sólo se puede dibujar un triángulo, salvo movimientos en el plano (desplazar, girar, invertir -simetria axial-).

Una consecuencia inmediata de este resultado es el siguiente:

Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente iguales y el lado opuesto a uno de ellos también igual.
(RA.5)

Basta observar que, si tienen 2 ángulos respectivamente iguales, tienen los tres porque su suma es dos rectos. Y ahora, el lado igual lo podemos ver como el lado comprendido entre dos ángulos iguales.

Criterio 3 de congruencia de Triángulos:
Dos triángulos son congruentes si tienen los tres lados respectivamente iguales

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Criterio3:
Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados respectivamente iguales, es decir, si miden lo mismo dos a dos.
(RA.6)

Una vez más, construyamos mediante el Applet y veremos que sólo se puede dibujar un triángulo, salvo movimientos en el plano (desplazar, girar, invertir -simetria axial-).

En esta ocasión el proceso de construcción hace envidente el resultado que ya conocemos de que en un triángulo, la suma de dos cualesquiera de los lados tiene que ser mayor que el tercero.

Criterio 4 de congruencia de Triángulos:
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente iguales,el ángulo opuesto a uno de ellos también igual y el ángulo opuesto al otro de ambos triángulos deberá ser menor o igual que un recto (respectivamente si es obtuso)

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Criterio4:
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente iguales, el ángulo opuesto a uno de los lados igual y el ángulo opuesto al otro lado es en ambos menor o igual que un recto (respectivamente mayor que un recto)
(RA.7)

Este caso es el más complejo de los cuatro y, como vamos a ver en el proceso de construcción, si nos dan dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, podemos encontrar situaciones en las que hay dos posibles triángulos como respuesta que no son congruentes entre si, pero si además sabemos que el ángulo opuesto al otro lado conocido es menor o igual que 90º, sólo encontraremos uno. Respectivamente, si conocemos que el ángulo opuesto al otro lado es obtuso, sólo habrá una solución.

El valor de los tres ángulos no determina el triángulo

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Teniendo en cuenta que, si conocemos dos ángulos de un triángulo, conocemos el tercero, porque su suma es 2 rectos, con el valor de dos ángulos no determinamos un único triángulo.

Sirva como ejemplo la construcción del Criterio 2: conocidos dos ángulos y el lado comprendido. Si variamos el tamaño del lado comprendido estaremos obteniendo triángulos no congruentes pero que sus ángulos son respectivamente iguales.

Cuando dos triángulos tienen sus ángulos coincidentes dos a dos pero sus lados son diferentes, los triángulos no son congruentes pero tienen una fuerte relación que estudiaremos más adelante.
(RA.8)

Manipula el Applet adjunto para comprobarlo.

Congruencia de Triángulos Rectángulos

Los triángulos rectángulos tienen una importancia fundamental en el estudio de la Trigonometría. Como corolario de los apartados anteriores, y teniendo en cuenta que, en un triángulo rectángulo siempre conocemos el valor de un ángulo que es recto y los otros dos ángulos son agudos, tenemos:

1. Dos triángulos rectángulos con los catetos respectivamente iguales, son congruentes. (Inmediato por el Criterio 1)
2. Dos triángulos rectángulos con un cateto y el ángulo agudo adyacente respectivamente iguales, son congruentes. (Si conocemos un ángulo agudo conocemos los tres ángulos; además conocemos un cateto luego se puede aplicar el Criterio 2)
3. Dos triángulos rectángulos con un cateto y la hipotenusa respectivamente iguales, son congruentes.(El ángulo recto es opuesto a la hipotenusa y los otros dos ángulos son agudos, luego se puede aplicar el Criterio 4)
4. Dos triángulos rectángulos con un cateto y el ángulo opuesto iguales, son congruentes.(Si conocemos un ángulo agudo conocemos los tres ángulos; además conocemos un cateto luego se puede aplicar el Criterio 2)
5. Dos triángulos rectángulos con la hipotenusa y un ángulo agudo iguales, son congruentes.(Si conocemos un ángulo agudo conocemos los tres ángulos; además conocemos la hipotenusa luego se puede aplicar el Criterio 2)

Estos resultados nos llevan a la siguiente conclusión:

Un triángulo rectángulo queda determinado si conocemos dos elementos cualesquiera además del ángulo recto, siempre que éstos no sean los dos ángulos restantes.